Quand les maths prennent forme

En mathématiques, le mot « forme » a de nombreux sens, mais son acception classique, en géométrie, suffit déjà à ouvrir la porte vers de nombreux champs d’études riches et féconds. On y trouve des polygones, des formes minimales, des formes optimales... Les formes sont partout ! La preuve avec Cédric Villani.

Une porte d’entrée vers le chaos.

Parmi tous les polygones de même envergure, lequel a le plus grand périmètre ou la plus grande aire ? Dans cette question comme dans d’autres, l’ordinateur doit parfois suppléer au raisonnement géométrique.

Trois mille ans de géométrie n’ont pas épuisé tout ce qu’un mathématicien peut dire de l’élémentaire figure géométrique du rectangle.

Le disque et la sphère ont une largeur constante, c'est leur diamètre. Mais ce ne sont pas les seuls à être dotés de cette propriété. C'est aussi le cas des orbiformes, des rotors, des sphéroformes... Visite guidée parmi ces étranges objets.

Les mathématiques françaises sont parmi les meilleures du monde. Pourtant, alors même que l’avènement du numérique les a rendues de plus en plus indispensables, leur reconnaissance dans le monde de l’entreprise et de l’industrie est encore insuffisante. Des initiatives émergent cependant pour favoriser la collaboration maths-entreprise.

Au début du XXe siècle, une question anodine à propos d’une aiguille a été posée par un mathématicien japonais. La réponse, loin d’être triviale, offre un voyage au coeur des mathématiques jalonné de formes singulières.

L’« ensemble de Mandelbrot » est la plus célèbre forme fractale et aussi l’une des plus riches. Mais elle est bidimensionnelle. Peut-on en imaginer un équivalent tridimensionnel ? Des structures étonnantes, créées par ordinateur, s’en rapprochent.

Patrice Jeener, un graveur atypique, s’est pris de passion pour les modèles mathématiques qui lui ont inspiré de nombreuses oeuvres. Elles sont exposées à l’Institut Henri-Poincaré, où les photographies de Vincent Moncorgé leur font écho.

Placer une infinité de formes impossibles dans un seul dessin peut sembler un peu futile. Cela produit pourtant de troublantes images où l’oeil est mis à rude épreuve.

Une nouvelle famille d’objets géométriques est née ! Elle résulte de la transformation d’une portion de plan en une surface torique sans modifier les longueurs. Le résultat a été récemment visualisé pour la première fois.

En 1952, Alan Turing a introduit des idées fondamentales sur la formation spontanée des structures, en particulier dans les organismes vivants. L’étude de cette morphogenèse a connu des développements considérables, notamment en mathématiques : et l’on découvre leur pertinence en neurosciences !

Des milliards de galettes aux faces concaves circulent dans votre corps : ce sont les globules rouges. Compte tenu de la surface et du volume de ces cellules, cette forme particulière est optimale. Pour quelles raisons ?

Le design n’est pas qu’une affaire d’art. Il concerne également des ingénieurs qui traquent les formes optimales et sont aidés en cela par de nouvelles méthodes mathématiques puissantes. Ces outils sont aussi mis à contribution dans le cinéma, par exemple dans Avatar, pour un meilleur réalisme.

Vous connaissez les équations différentielles, mais connaissez-vous les équations aux dérivées partielles stochastiques ? Source de belles formes, elles sont très utiles pour étudier des phénomènes aussi divers que les séparations de phases ou... l’évolution des opinions politiques des Américains. Elles sont au coeur de travaux récompensés par une médaille Fields en 2014.